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Matrix Theory - hw4

1. 设 2 个方阵 $A \in \mathbb{C}^{m \times m}$ ， $B \in \mathbb{C}^{n \times n}$ 。

1) 若 $A, B$ 都可逆，证明 $A \otimes B$ 可逆，且 $(A \otimes B)^{-1}=A^{-1} \otimes B^{-1}$ 。

2) 若 $AX=\lambda_1X, BY=\tau_1Y$ ，则有 $A \otimes B(X \otimes Y)=\lambda_1 \tau_1 (X \otimes Y)$ ，即 $X \otimes Y$ 是 $A \otimes B$ 的特征向量，特征根为 $\lambda_1 \tau_1$ ，且有 $(A \otimes I_n + B \otimes I_m)(X \otimes Y)=(\lambda_1 + \tau_1)(X \otimes Y)$ 成立。

1. 设 2 个方阵 A \in \mathbb{C}^{m \times m}，B \in \mathbb{C}^{n \times n}。
- 1) 若 A, B 都可逆，证明 A \otimes B 可逆，且 (A \otimes B)^{-1}=A^{-1} \otimes B^{-1}。
- 2) 若 AX=\lambda_1X, BY=\tau_1Y ，则有 A \otimes B(X \otimes Y)=\lambda_1 \tau_1 (X \otimes Y)，即 X \otimes Y 是 A \otimes B 的特征向量，特征根为 \lambda_1 \tau_1，且有 (A \otimes I_n + B \otimes I_m)(X \otimes Y)=(\lambda_1 + \tau_1)(X \otimes Y) 成立。